На уроках геометрии вы уже познакомились с простейшими операциями над векторами: нахождением их суммы и разности. Напомним это.

Сложение векторов. Чтобы найти сумму двух векторов, необходимо: а) параллельным переносом совместить начала векторов; б) дополнить чертёж двумя отрезками так, чтобы получился параллелограмм; в) провести вектор суммы из точки начал векторов в точку соединения дополняющих отрезков (по диагонали параллелограмма).

Проиллюстрируем это правило на примере из § 12-в, когда автомобиль перемещается сначала по вектору AВ1 и затем по вектору В1В2 до поворота на мост (см. чертёж слева). Другими словами, мы ищем вектор суммы или, что то же самое, сумму векторов AВ1 и В1В2.

Сделаем новые чертежи обсуждаемых векторов (см. ниже). На чертеже «а» применим параллельный перенос и переместим вектор В1В2 началом в точку А (то есть совместим начала векторов). Чертёж «б» дополним двумя отрезками СВ2 и В1В2 до образования параллелограмма. На чертеже «в» проведём вектор суммы из точки А начал векторов в точку В2 соединения дополняющих отрезков (по диагонали параллелограмма).

Итак, мы нашли вектор суммы или сумму векторов:

Проверим правильность результата: автомобиль, переместившись из точки А в точку В1, затем переместился из точки В1 в точку В2. Иначе говоря, он совершил перемещение «по» вектору АВ2, который мы только что построили, применив правило паралеллограмма.

1. Сложить два вектора – то же самое, что и ...
2. Для совмещения начал векторов надо воспользоваться ...
3. Чтобы образовался параллелограмм, нужно ...
4. Искомый вектор суммы будет направлен ...
5. Сумма векторов AB1 и B1B2 описывает перемещение ...
6. Чтобы переместить вектор В1В1 началом в точку А, мы ...
7. В результате этого действия мы ...
8. Мы дополняем чертёж отрезками с целью построения ...
9. Вектор суммы исходных векторов пройдёт по ...
10. Сумма векторов всегда образует новый ...

Вычитание векторов. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: а) параллельным переносом совместить начала векторов; б) дополнить чертёж отрезком так, чтобы получился треугольник; в) придать отрезку направление от вычитаемого к уменьшаемому, создав вектор разности.

Проиллюстрируем это правило на том же примере из § 12-в, когда автомобиль подъезжает к середине моста. Для этого из вектора полного перемещения АВ3 вычтем перемещение на третьем этапе, вектор B2В3.

Другими словами, сейчас мы ищем вектор разности:

На чертеже «а» применим параллельный перенос и переместим вектор В2В3 началом в точку А (то есть совместим начала векторов). Чертёж «б» дополним отрезком DВ3 до образования треугольника. На чертеже «в» придадим отрезку направление от вычитаемого (синего вектора) к уменьшаемому (красному вектору), создав вектор разности DВ3.

Контурной стрелкой показан параллельный перенос найденного вектора разности в точку А. Важно: построенный вектор DВ3 равен искомому вектору разности АВ2. Это, по сути, проверка правильности результата, поскольку этот вектор мы уже находили по правилу параллелограмма.

Заметим, что векторы можно складывать и «треугольником», а вычитать «параллелограммом». Но мы рекомендуем запомнить именно правило параллелограмма для суммы векторов и правило треугольника для разности векторов, поскольку в дальнейшем эти правила понадобятся нам именно в таком виде (см. § 12-л, а также § 13-з, § 13-и).

11. Вычесть два вектора – то же самое, что и ...
12. Чтобы образовался треугольник, нужно ...
13. Искомый вектор разности будет направлен ...
14. Вектор AВ3 является вектором ...
15. Вектор В2В3 описывает перемещение ...
16. Чтобы переместить вектор В2В3 началом в точку А, мы ...
17. В результате этого действия мы ...
18. Проведя отрезок DB3, мы добьёмся ...
19. Чтобы создать искомый вектор разности DВ3, мы ...
20. Проверка, показанная на чертеже «в» контурной стрелкой, подтвердит, что ...