Физические величины при измерениях и вычислениях обычно выражают числами. Они могут значительно отличаться друг от друга и выражаться как чрезвычайно малыми, так и гигантскими числами. Например, размеры различных тел лежат в пределах от микроскопических до космических масштабов и различаются в 1000000000000000000000000000000... раз (всего надо написать 60 нулей) – такое число даже сложно прочитать!

Как же записать очень малое или очень большое число, чтобы сэкономить бумагу и чтобы легко оперировать этими числами – складывать, вычитать, умножать, делить, да и вообще быстро прочитать и понять записанное?

Наиболее удобный способ записи малых и больших чисел заключается в использовании множителя 10 в некоторой степени. Например, число 2000 можно записать как 2·1000 или 2·10³. Степень десяти (в данном случае «3») показывает, сколько нулей нужно приписать справа за первым множителем (в нашем примере «2»). Это называют записью числа в стандартной форме. Если число содержит более, чем одну значащую цифру, например 21500, то его можно записать как 21500·10⁰ или 2150·10¹ или 215·10² или 21,5·10³ или 2,15·10⁴ или 0,215·10⁵ или 0,0215·10⁶ и так далее.

Запомним: в стандартной форме числа до запятой всегда оставляют только одну цифру, отличную от нуля, а остальные цифры записывают после запятой. Итак, в стандартной форме число 21500 = 2,15·10⁴.

Когда вы будете «разворачивать» (то есть записывать в обычном виде) число, представленное в стандартной форме, например, 3,71·10⁵, то начинайте отсчитывать цифры в количестве пяти (таков в нашем примере показатель степени десяти) сразу после запятой, включая и значащие цифры «71», а недостающие цифры замените нулями: 3,71·10⁵ = 371000.

С большими числами мы выяснили, перейдём теперь к малым. Например, число 0,0375 тоже можно записать в стандартной форме так: 3,75·10^–2. Первый множитель – первая значащая цифра, затем запятая и остальные цифры (в нашем примере это «3», «запятая», «75»). Показатель степени равен позиции после запятой, на которой стоит первая отличная от нуля цифра (в нашем примере это вторая позиция, поскольку именно там стоит первая ненулевая цифра «3»). Перед показателем ставится знак «минус», и это означает, что при «разворачивании» числа нули нужно будет ставить не справа, а слева. Например: 1,05·10^–5 = 0,0000105.

Размеры некоторых малых тел

Размеры некоторых больших тел

Все числа, записанные в стандартной форме, можно складывать и вычитать. Для сложения двух чисел, записанных в такой форме, сначала нужно преобразовать их так, чтобы степень десяти была одинаковой. Например, 2,15·10⁴ + 3,71·10⁵ можно переписать в виде: 0,215·10⁵ + 3,71·10⁵. Теперь складываем первые множители: 0,215 + 3,71 = 3,925 и приписываем справа общий второй множитель 10⁵. Получим результат: 3,925·10⁵. С вычитанием поступаем по аналогии: 3,71·10⁵ – 2,15·10⁴ = 3,71·10⁵ – 0,215·10⁵ = (3,71 – 0,215) · 10⁵ = 3,495·10⁵.

Для умножения чисел в стандартной форме, например, 5,2·10⁴ · 3,7·10⁵, нужно перемножить первые сомножители: 5,2 · 3,7 = 19,24, а затем сложить показатели степеней: 10⁴ · 10⁵ = 10⁴⁺⁵ = 10⁹. Получим результат: 19,24·10⁹, в котором перенесём запятую на один знак влево: 1,924·10¹⁰. При делении чисел в стандартной форме записи, например 5,4·10⁴ : 3,6·10⁶ следует разделить первые множители 5,4 : 3,6 = 1,5 и приписать второй множитель – десять в степени, где показатели вычитаются: 10⁴ : 10⁶ = 10^4-6 = 10^–2. Получим ответ: 1,5·10^-2.

(C) 2013. Баникевич Наталья Геннадьевна (Кемеровская область, г. Кемерово)